Question

10．如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点B，D，AB=2，CD=4，BD=3，在直线MN上是否存在点P，能使△PAB与△PCD相似？如果存在，满足上述条件的点P有几个？说明点P与点B，D的距离，并作出图形．

Answer 1

分析 设PB=x，分类讨论：若点P在点B的左侧，如图1，由于∠PBA=∠PCD=90°，则当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{x+3}$；当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{x+3}$=$\frac{x}{4}$；若点P在线段BD上，如图2，同样方法，当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{3-x}$；当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{3-x}$=$\frac{x}{4}$，无解；若点P在D点右侧，如图3，同样方法当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{x-3}$；当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{x-3}$=$\frac{x}{4}$，然后分别解方程求出x，即可得到满足条件的PB的长，从而得到PD的长．

解答 解：存在点P，能使△PAB与△PCD相似，满足上述条件的点P有4个．
设PB=x，
若点P在点B的左侧，如图1，
∵∠PBA=∠PCD=90°，
∴当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{x+3}$，解得x=3，此时PD=6；
当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{x+3}$=$\frac{x}{4}$，解得x₁=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$（舍去），此时PD=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$；
若点P在线段BD上，如图2，
∵∠PBA=∠PCD=90°，
∴当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{3-x}$，解得x=1，此时PD=2；
当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{3-x}$=$\frac{x}{4}$，无解；
若点P在D点右侧，如图3，
∵∠PBA=∠PCD=90°，
∴当$\frac{AB}{CD}$=$\frac{PB}{PD}$时，△PBA∽△PDC，即$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{x-3}$，解得x=-3，舍去；
当$\frac{AB}{PD}$=$\frac{PB}{CD}$时，△PBA∽△CDP，即$\frac{2}{x-3}$=$\frac{x}{4}$，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（舍去），此时PD=$\frac{-3+\sqrt{41}}{3}$；
综上所述，满足上述条件的点P有4个，当PB=3时，PD=6；当PB=$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$时PD=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$；当PB=1时，PD=2；当PB=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，PD=$\frac{-3+\sqrt{41}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了分类讨论思想的运用．