Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，若∠BAD-∠DAC=21°，则∠B的度数等于

 

．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：分两种情况，当AB的垂直平分线交BC的延长线于点D时，连接DA，此时∠BAC=∠BAD-∠DAC=21°，且∠B+∠BAC=90°，可求得∠B；当AB的垂直平分线交线段BC于点D时，∠CAD=∠B-21°，且∠B+∠CAD=90°，可求得∠B．

解答：解：
如图1，当AB的垂直平分线交BC的延长线于点D时，连接DA，

∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵∠BAD-∠DAC=21°，
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=21°，
又∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
即21°+∠B=90°，
解得∠B=69°；
如图2，当AB的垂直平分线交线段BC于点D时，连接DA，

∵D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
∵∠BAD-∠DAC=21°，
∴∠DAC=∠B-21°，
又∠CDA=2∠B，∠DAC+∠CDA=90°，
∴∠B-21°+2∠B=90°，
解得∠B=37°；
综上可知∠B为37°或69°，
故答案为：37°或69°．

点评：本题主要考查线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理及外角性质的利用．