Question

15．在△ABC中，∠A=90°．
（1）如图（1），BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠P=135°；并猜想∠P与∠A之间的等量关系：∠P=180°-$\frac{1}{2}∠A$；
（2）如图（2），若BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，则∠BFC═150°；猜想∠BFC与∠A之间的等量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和和角平分线的定义解答即可；
（2）设∠ABE=∠EBF=∠CBF=α，∠ACE=∠ECF=∠FCB=β；求出α+β=35°，进而求出∠F=145°，问题即可解决．

解答 解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，$∠PCB=\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠PBC+∠PCB）=90°，
∴∠P=180°-45°=135°；
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}∠A$；
故答案为：135°；∠P=180°-$\frac{1}{2}∠A$；
∵BE和BF三等分∠ABC，CE和CF三等分∠ACB，
∴∠ABE=∠EBF=∠CBF（设为α），∠ACE=∠ECF=∠FCB（设为β）；
∵∠A=90°，
∴3α+3β=180°-90°=90°，α+β=30°；
∴∠F=180°-30°=150°，
∴∠F＞∠A；
故答案为：150°．

点评 该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．