Question

20．已知∠AOB=45°，点P、Q分别是边OA、OB上的两点，且OP=2，将∠O沿PQ折叠，点O落在平面内的点C处
（1）如图1，填空：PC=2；
（2）当PC⊥OB，垂足为E，求OQ的长；
（3）若折叠后重叠部分为等腰三角形，请画出草图并直接写出所有符合条件的∠OPQ度数．

Answer 1

分析 （1）折叠是一种对称变换，它属于轴对称，由折叠的性质得出OP=CP即可；
（2）当PC⊥QB时，分两种情况：①设OQ=xcm，证出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$，QM=$\sqrt{2}$-x，证出△CQM是等腰直角三角形，得出QC=$\sqrt{2}$QM，得出方程x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），解方程即可；②同理得出：OQ=2$\sqrt{2}$+2，即可得出结论；
（3）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个；点C在∠AOB的内部或∠AOB一边上时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及等腰直角三角形即可求出∠OPQ；点C在∠AOB的外部时，同理求出∠OPQ即可．

解答 解：（1）由折叠的性质得：OP=CP=2；

（2）当PC⊥QB时，分两种情况：
①如图1所示：设OQ=xcm，

∵∠O=45°，
∴△OPM是等腰直角三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$，
∴QM=$\sqrt{2}$-x，
由折叠的性质得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM是等腰直角三角形，
∴QC=$\sqrt{2}$QM
∴x=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-x），
解得：x=2$\sqrt{2}$-2，
即OQ=2$\sqrt{2}$-2；
②如图2所示：同①可得：OQ=2$\sqrt{2}$+2；

综上所述：当PC⊥QB时，OQ的长为2$\sqrt{2}$-2，或2$\sqrt{2}$+2；

（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点Q共有5个：
①点C在∠AOB的内部时，四边形OPCQ是菱形，OQ=OP，∠OPQ=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°；

②当点C在∠AOB的一边上时，△OPQ是等腰直角三角形，∠OPQ=45°或90°；

③当点C在∠AOB的外部时，分两种情况：
如图所示：PM=PQ，则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，

由折叠的性质得：∠OPQ=∠MPQ，
设∠OPQ=∠MPQ=x，
则∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
如图所示：PQ=MQ，同理可得∠OQP=30°，
∴△OPQ中，∠OPQ=180°-45°-30°=105°．

综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，∠OPQ度数为67.5°，45°，90°，30°，105°．

点评 本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识的综合应用；熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，注意分类讨论的运用．