Question

如图，AB是半圆O的直径，AD是弦，E为弧的中点，OE的延长线交切线AC（切点为A）于点C，连接BE，DE．
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．

Answer 1

解：（1）∵E为弧的中点，
∴OE⊥AD，
∴∠C+∠CAF=90°，
∵AC与圆O相切，
∴CA⊥AB，
∴∠CAF+∠FAO=90°，
∴∠C=∠FAO，
∵∠BED与∠FAO都对，
∴∠BED=∠FAO，
∴∠BED=∠C；

（2）∵E为弧的中点，
∴OE⊥AD，
∴F为AD的中点，即AF=DF=AD=4，
在Rt△AOF中，AO=5，AF=4，
根据勾股定理得：OF==3，
∵∠CAO=∠AFO=90°，∠AOF=∠COA，
∴△AOF∽△COA，
∴=，即AO²=CO•OF，
∴25=3CO，即CO=，
在Rt△ACO中，根据勾股定理得：AC==．
分析：（1）由E为弧AD的中点，利用垂径定理的逆定理得到OE与AC垂直，可得出一对角互余，再由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到AC与AB垂直，得到另一对角互余，利用同角的余角相等得到∠C=∠FAO，最后利用同弧所对的圆周角相等及等量代换即可得证；
（2）利用垂径定理的逆定理得到F为AD的中点，求出AF的长，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，再由三角形AOF与三角形AOC相似，利用相似得比例求出OC的长，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理即可求出AC的长．
点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．