Question

已知二次函数y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

．
（1）判断该二次函数的图象与x轴的交点情况；
（2）设k＜0，当该二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为6时，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0，m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数与方程的关系，求出△的值，若为正数，则此函数图象与x轴总有两个交点．
（2）根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可．
（3）先求出A，B，C的坐标，作图确定三角形的圆心，运用三角函数得出半径的长，确定点N的坐标，直线l与△ABC的外接圆有公共点的m的取值范围．

解答：解：（1）令y=0得

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
△=k²-4×

1

2

（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
当k=1时，与x轴有一个交点，
当k≠1时，与x轴有两个交点，
（2）由

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
解得x=-k±

(k-1)2

∵k＜0，
∴x=-k±（1-k）
∴x₁=1-2k，x₂=-1，
∵二次函数的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为6时，
∴1-2k+1=6，
解得k=-2．
（3）由（2）中k=-2，得A（-1，0），B（5，0），抛物线解析式为：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，抛物线顶点C的坐标为（2，-

9

2

），
如图，作AB的中垂线CF交AB于点F，作BC的中垂线交CF于点O′，点O′就是三角形ABC的外接圆的圆心．即可求出

∵A（-1，0），B（5，0），C的坐标为（2，-

9

2

），
∴BF=3，BC=

(- 9 2 )2+32

=

3 13

2

，
∴CD=

3 13

4

，CF=

9

2

，
∵cos∠BCF=

9 2

3 13 2

=

3 13

13

，
∴

CD

CO′

=

3 13

13

，
∴CO′=

13

4

，即外接圆的半径为

13

4

，
∴N的坐标为（2，2）CN∥y轴，
∴当-

9

2

≤m≤2时，直线l与△ABC的外接圆有公共点．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及方程，外接圆及勾股定理三角函数等知识点，解题的关键是确定外接圆的圆心及半径的长．