Question

2．如图，一次函数y=k₁x+b（k₁≠0）与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，
（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出k₁x+b-$\frac{{k}_{2}}{x}$＞0时x（x＞0）的取值范围；
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（k₂≠0）（x＞0）的图象过A（1，6），B（a，3）两点，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式与点B的坐标，然后由y=k₁x+b过A（1，6），B（2，3），利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）结合图象，即可求得k₁x+b-$\frac{{k}_{2}}{x}$＞0时x（x＞0）的取值范围；
（3）首先过点B作BF⊥OD于点F，易证得Rt△OBF≌Rt△DCE（HL），即可得OF=DE，然后设C（a，3），由梯形OBCD的面积为12，即可求得a的值，继而求得线段PC与PE的长，则可证得结论．

解答 解：（1）∵y=$\frac{{k}_{2}}{x}$过A（1，6），B（a，3），
∴6=$\frac{{k}_{2}}{1}$，3=$\frac{{k}_{2}}{a}$，
∴k₂=6，a=2，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{6}{x}$，B（2，3），
∵y=k₁x+b过A（1，6），B（2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6={k}_{1}+b}\\{3=2{k}_{1}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为：y=-3x+9；

（2）由图象得：k₁x+b-$\frac{{k}_{2}}{x}$＞0时，x（x＞0）的取值范围为：1＜x＜2；
                             
（3）PC=PE，理由如下：
过点B作BF⊥OD于点F，
∵四边形OBCD是等腰梯形，BC∥OD，CE⊥OD，
∴OB=CD，BF=CE，
在Rt△OBF和Rt△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=DC}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OBF≌Rt△DCE（HL），
∴OF=DE，
∵B（2，3），
∴OF=DE=2，BF=3，
设C（a，3），
∴BC=a-2，OD=a+2，
∵梯形OBCD的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$（a-2+a+2）×3=12，
解得：a=4，
∴C（4，3），
∴x_P=4，
∴y_P=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴P（4，$\frac{3}{2}$），
∵C（4，3），E（4，0），
∴PC=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
PE=$\frac{3}{2}$-0=$\frac{3}{2}$，
∴PC=PE．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定与性质以及等腰梯形的性质．注意准确作出辅助线，利用方程思想求解是解此题的关键．