Question

12．如图，AD是角平分线，E是AB上一点，AE=AC，EF∥BC交AC于F．下列结论①△ADC≌△ADE；②CE平分∠DEF；③AD垂直平分CE．其中正确的是①②③（填序号）．

Answer 1

分析 由于AD是△ABC的角平分线，AE=AC，AD公共边，由此可以证明△AED≌△ACD；然后根据全等三角形的性质得到CD=CE，再等腰三角形的性质推出∠CED=∠EDC，又EF∥BC，利用平行线的性质推出∠FEC=∠ECD，等量代换之后即可证明；由△AED≌△ACD，得到DE=DC，又AE=AC，利用垂直平分线的逆定理即可解答．

解答 解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD，故①正确；
∴ED=DC，
∴∠CED=∠DCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠CED=∠FEC，
即CE平分∠DEF，故②正确；
∵△AED≌△ACD，
∴DE=DC，
∴点D在线段EC的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在线段EC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分CE．故③正确；
故答案为：①②③．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识；有一定的综合性，一般已知角平分线往往是利用角平分线构造全等三角形解决问题．