Question

3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数．

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠P+∠PCB，根据角平分线的定义可得∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，然后整理得到∠PCD=40°+$\frac{1}{2}$∠ABC，再代入数据计算即可得解．

解答 解：在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=40°+$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ABC+40°，
∴∠ACD-∠ABC=80°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=80°，
即∠CAB=80°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并求出∠PCD=40°+$\frac{1}{2}$∠ABC是解题的关键．