Question

4．如图，在长方形纸片ABCD中，AB=mAD，其中m≥1，将它沿EF折叠（点E、F分在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，若∠BEF=α，$\frac{AM}{EF}$的值（用含m，α的式子表示）．

Answer 1

分析 连接BM交EF于点G，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，根据等腰三角形的性质得到∠FGO=90°，由矩形的性质得到KF=BC=AD，FC=KB，根据余角的性质得到∠KBO=∠OFG，推出△ABM∽△KFE，得到$\frac{AM}{EK}=\frac{AB}{FK}$，由于EK=EF•cosα，即可得到结论．

解答 解：连接BM交EF于点G，过点F作FK⊥AB于点K，交BM于点O，
∵EM=EB，∠MEF=∠BEF，
∴EF⊥MB，
即∠FGO=90°，
∵四边形FKBC是矩形，
∴KF=BC=AD，FC=KB，
∵∠FKB=90°，
∴∠KBO+∠KOB=90°，
∵∠GOF+∠GFO=90°，∠GOF=∠KOB，
∴∠KBO=∠OFG，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABM∽△KFE，
∴$\frac{AM}{EK}=\frac{AB}{FK}$，
∵EK=EF•cosα，
∴$\frac{AM}{EF•cosα}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{AM}{EF}$=$\frac{cosα}{m}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质、矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．