Question

19．如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点C落在AB边上的点C′处（与点A，B不重合），点D落在D′处，C′D′交AD于点E，折痕为MN．
（1）已知AB=7，BC=9，当点C′在什么位置时，可以使△NBC′≌△C′AE？
（2）如果AB=BC=1，那么使△NBC′≌△C′AE的点C′是否存在？如果存在，求出点C′的位置；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=7-x，于是NC=BC-BN=2+x，再由折叠的性质得到NC′=NC=2+x，然后在Rt△BNC′中利用勾股定理列出方程（2+x）²=x²+（7-x）²，解方程即可；
（2）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，先根据全等三角形的性质得出BN=AC′=AB-BC′=1-x，验算NC=BC-BN=x，再由折叠的性质得到NC′=NC=x，然后在Rt△BNC′中根据斜边最长得出NC′＞BC′，这与NC′=BC′=x矛盾，于是得出结论：如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

解答 解：（1）设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=7-x，NC=BC-BN=9-（7-x）=2+x，
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=2+x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′²=BC′²+BN²，
∴（2+x）²=x²+（7-x）²，
解得x₁=3，x₂=15，
∵15＞AB，舍去，故x=3，即当点C′在AB上距离点B3个单位时，可使△NBC′≌△C′AE；

（2）如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．
理由如下：
设BC′=x时，△NBC′≌△C′AE，则BN=AC′=AB-BC′=1-x，NC=BC-BN=1-（1-x）=x．
∵把矩形ABCD折叠，使点C落在AB上的C′处，折痕为MN，
∴NC′=NC=x．
在Rt△BNC′中，∵∠B=90°，
∴NC′＞BC′，
而NC′=BC′=x，
∴如果AB=BC=1，使△NBC′≌△C′AE的C′不存在．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．同时考查了直角三角形的性质及一元二次方程的解法．