Question

16．如图，AO是边长为2的等边△ABC的高，点D是AO上的一个动点（点D不与点A、O重合），以CD为一边在AC下方作等边△CDE，连结BE并延长，交AC的延长线于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当△CEF为等腰三角形时，求△CEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△CDE是等边三角形，用“SAS”证得△ACD≌△BCE；
（2）首先作CP⊥BF于点P，由∠CBE=30°，求得CP的长，继而求得答案．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=60°，
同理可证CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，
 即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）得∠CBE=∠CAD=30°，得△ABF恒为直角三角形，且∠F=30°CF=CB=2，
又因为点D不与点A、O重合，
所以当△CEF为等腰三角形时，∠F只能为顶角，
如图，作CP⊥BF于点P，

由∠CBE=30°，
得CP=$\frac{1}{2}$BC=1，
因为CF=EF=2，
所以S_△CEF=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．