Question

14．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c过（1，4）与（4，-5）两点，且与一直线y=x+1相交于A，C两点，
（1）求该抛物线解析式；
（2）求A，C两点的坐标；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=-x²+bx+c过（1，4）与（4，-5）两点，可以求得该抛物线的解析式；
（2）由第一问中抛物线的解析式和直线的解析式连立方程组，即可求得A，C两点的坐标；
（3）作辅助线过点P作PH⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴交x轴于点G，画出相应的图形，根据已知和第（1）（2）中求出的量进行灵活变化，可以求得△APC的面积，P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，确定点P横坐标的取值范围，从而可以得到△APC的面积的最大值．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点（1，4）与（4，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+b+c=4\\-16+4b+c=-5\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$．
∴该抛物线解析式为：y=-x²+2x+3．
（2）∵抛物线y=-x²+2x+3与直线y=x+1相交于A，C两点，
∴x+1=-x²+2x+3．
解得x₁=-1，x₂=2．
当x=-1时，y=-1+1=0；
当x=2时，y=2+1=3．
∴点A的坐标为；（-1，0），点C的坐标为：（2，3）．
（3）如图，过点P作PH⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴交x轴于点G，

∵点Q在直线y=x+1上，点P在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴设Q的坐标为（x，x+1），则P的坐标为（x，-x²+2x+3）．
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）=-x²+x+2．
∴S_△APC=S_△PQA+S_△PQC=$\frac{PQ×AH}{2}+\frac{PQ×HG}{2}=\frac{PQ×AG}{2}$=$\frac{（-{x}^{2}+x+2）×[2-（-1）]}{2}=\frac{3}{2}（-{x}^{2}+x+2）$=$-\frac{3}{2}（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{27}{8}$．
∵P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，点A的坐标为；（-1，0），点C的坐标为：（2，3），
∴-1＜x＜3．
∴当$x=\frac{1}{2}$时，△APC的面积取得最大值，最大值为$\frac{27}{8}$．
即P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，△APC的面积的最大值是$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查求二次函数的解析式、直线与二次函数的交点问题、求最值的问题，关键是找出所求问题需要的量，灵活变化，最终得出问题的答案．