Question

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上的一点O为圆心．OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若CD=6，AC=10，求⊙0的半径；
（2）连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形0FDE的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）作OH⊥AC于H，连结OD，如图1，设⊙0的半径为r，根据切线的性质得OD⊥BC，则可证明四边形ODCH为矩形，得到OH=CD=6，CH=OD=r，则AH=AC-CH=10-r，然后在Rt△OAH中利于勾股定理得（10-r）²+6²=r²，再解方程即可；
（2）连结OD，如图2，由平行四边形的性质得到EF∥BD，ED∥BF，利于OD⊥BD得到OD⊥EF，根据垂径定理得OD平分EF，即OD垂直平分EF，再证明∠DEF=∠OEF，由于EF⊥OD，所以EF平分OD，则OD与EF互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法可判断四边形0FDE为菱形．

解答 解：（1）作OH⊥AC于H，连结OD，如图1，设⊙0的半径为r，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，OH⊥AC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OH=CD=6，CH=OD=r，
∴AH=AC-CH=10-r，
在Rt△OAH中，∵AH²+OH²=OA²，
∴（10-r）²+6²=r²，解得r=$\frac{34}{5}$；，
即⊙0的半径为$\frac{34}{5}$；
（2）四边形0FDE为菱形．理由如下：
连结OD，如图2，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，ED∥BF，
∵OD⊥BD，
∴OD⊥EF，
∴OD平分EF，即OD垂直平分EF，
∵ED∥OF，
∴∠DEF=∠OFE，
而∠OFE=∠OEF，
∴∠DEF=∠OEF，
而EF⊥OD，
∴EF平分OD，
∴OD与EF互相垂直平分，
∴四边形0FDE为菱形．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理和菱形的判定．