Question

7．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx²-$\frac{19}{4}$x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值．
（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=mx²-$\frac{19}{4}$x+n经过A（0，3）、B（4，0），将两点坐标代入抛物线即可得出m，n的值；
（2）根据待定系数法可求经过AB两点的一次函数的解析式，得到MN=-$\frac{3}{4}$x+3-（x²-$\frac{19}{4}$x+3）=-x²+4x=-（x-2）²+4，从而求解；
（3）分两种情况讨论，①当ON⊥AB 时，②当N为AB中点时，依次求出点N的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=mx²-$\frac{19}{4}$x+n经过A（0，3）、B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{16m-\frac{19}{4}×4+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴二次函数的表达式为y=x²-$\frac{19}{4}$x+3．
（2）∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴经过AB两点的一次函数的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
MN=-$\frac{3}{4}$x+3-（x²-$\frac{19}{4}$x+3）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，MN取得最大值为4．
（3）存在．
①当ON⊥AB时，（如图1）
可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△OQN．
∴$\frac{ON}{AB}$=$\frac{NQ}{OB}$=$\frac{OQ}{OA}$，
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵ON•AB=OA•OB，
∴ON=$\frac{12}{5}$，
∴NQ=$\frac{36}{25}$，OQ=$\frac{48}{25}$．
∴N（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）；
②当N为AB中点时，（如图2）
∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，
∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2，$\frac{3}{2}$）．
∴满足条件的N（$\frac{36}{25}$，$\frac{48}{25}$）或N（2，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、配方法及相似三角形的判定，综合考察的知识点较多，像此类综合题，要求同学们一步一步的来，找准突破口，将所学的知识融会贯通．