Question

12．如图1，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
（2）首先求出直线BC的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
（3）根据S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-16，得出函数最值，进而求出P点坐标即可．

解答 解：（1）将A（2，0），B（-4，0）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{-16-4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=8}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+8；

（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：
y=kx+d，
将点B（-4，0）、C（0，8）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{d=8}\\{-4k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{d=8}\end{array}\right.$，
故直线BC解析式为：y=2x+8，
直线BC与抛物线对称轴 x=-1的交点为Q，此时△QAC的周长最小．
解方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=2x+8}\\{x=-1}\end{array}}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=6}\end{array}\right.$
则点Q（-1，6）即为所求；

（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，
P点（x，-x²-2x+8）（-4＜x＜0）
∵S_△BPC=S_{四边形BPCO}-S_△BOC=S_{四边形BPCO}-16
若S_{四边形BPCO}有最大值，则S_△BPC就最大
∴S_{四边形BPCO}=S_△BPE+S_{直角梯形PEOC}
=$\frac{1}{2}$BE•PE+$\frac{1}{2}$OE（PE+OC）
=$\frac{1}{2}$（x+4）（-x²-2x+8）+$\frac{1}{2}$（-x）（-x²-2x+8+8）
=-2（x+2）²+24，
当x=-2时，S_{四边形BPCO}最大值=24，
∴S_△BPC最大=24-16=8，
当x=-2时，-x²-2x+8=8，
∴点P的坐标为（-2，8）．

点评 此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形BPCO的面积是解题关键．