Question

17．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交直线BC下方的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0），根据待定系数法可求出抛物线解析式；
（2）首先根据待定系数法求出直线BC的解析式，进而设点P的坐标为（m，m-3），得到点E（m，m²-2m-3），根据两点距离公式得到PE=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，依此可求点P的坐标；
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为E，根据AAS证明△PAE≌△AQD，根据全等三角形的性质得到PE=2，依此可求点P的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）当x=0时，y=-3，
则点C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
则直线BC的解析式为y=x-3，
设点P的坐标为（m，m-3），则点E（m，m²-2m-3），
则PE=（m-3）-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=$\frac{3}{2}$时PE最长为$\frac{9}{4}$，此时点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
（3）设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为m-3，
过点P作x轴的垂线，垂足为E，
则PE=|m-3|，
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴PA=QA，∠PAQ=90°，
∵∠PAE+∠APE=90°，∠PAE+∠QAD=90°，
∴∠APE=∠QAD，
在△PAE与△AQD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEA=∠ADQ}\\{∠APE=∠QAD}\\{PA=QA}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△AQD，
∴PE=AD，
∵AD=2，
∴PE=2，
∴|m-3|=2，
解得m=5或1．
∴点P的坐标为（5，2）或（1，-2）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题型，涉及等腰直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用全等三角形的判定得出△PAE≌△AQD是解题关键．