Question

20．如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B．直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q．
（1）BD的长；
（2）直线CD的解析式；
（3）点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a-1，得出2a-1=1，求出a=1，即可得出BD的长；
（2）根据BD的长得出点D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD=$\sqrt{5}$，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式；
（3）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可得出点Q的坐标．

解答 解：（1）过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，
∵∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中，
$\left\{\begin{array}{l}∠CMP=∠DNP\\∠MCP=∠DPN\\ PC=PD\end{array}\right.$，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=a，BD=2a，
∵P（1，1），
∴DN=2a-1，
则2a-1=1，解得a=1，
∴BD=2；

（2）∵直线的解析式为：y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y=kx+3，
把D（3，2）代入得：k=-$\frac{1}{3}$，
即直线CD的解析式是y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+3\\ y=x\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{9}{4}\end{array}\right.$，
即Q的坐标是（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．