Question

4．在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在x轴重合，∠OAB=90°，OA=AB，点A的坐标为（4，4），点C从原点O出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接AC，并以AC为一腰按逆时针顺序作等腰Rt△CAD，使∠CAD=90°，AC=AD，连接DB．
（1）求点B的坐标；
（2）设点C的运动时间为t秒，在点C的运动过程中，当t为何值时，使得线段CB：OC=1：3，求出t值及△ACD的面积，并写出点D的坐标；
（3）当t为何值时，当A、B、D为顶点的△ABD为等腰直角三角形？若存在请求出t值，并求出D点坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过A作AH⊥OB于H，根据等腰直角三角形的性质得到OH=AH=BH，由A的坐标为（4，4），于是得到AH=OH=4，求得OB=2AH=8，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到CB=2，OC=6，求得t=6÷1=6s，如图1，过C作CE⊥OA于E，则△OCE是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CE=OE=3$\sqrt{2}$，同理OA=AB=4$\sqrt{2}$，于是得到AE=OA-OE-$\sqrt{2}$，求出AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，于是求得S_△ACD=$\frac{1}{2}•AC•AD$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}$=10，通过△AOC≌△ABD，得到BD=OC=6，∠ABD=∠AOC=45°推出BD⊥OB，于是得到结论；
（3）如图2，由（1）知∠CAD=90°，由（2）知∠CBD=90°，当∠ADB=90°时，四边形ACBD是矩形，根据AC⊥OB，于是得到OC=CB=4，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AH⊥OB于H，
∵∠OAB=90°，AO=AB，
∴OH=AH=BH，
∵A的坐标为（4，4），
∴AH=OH=4，
∴OB=2AH=8，
∴B（8，0）；
（2）∵CB：OC=1：3，OB=8，
∴CB=2，OC=6，
∴t=6÷1=6s，
如图1，过C作CE⊥OA于E，则△OCE是等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴CE=OE=3$\sqrt{2}$，同理OA=AB=4$\sqrt{2}$，
∴AE=OA-OE-$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}•AC•AD$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}$=10，
∵∠OAB=∠BAD=90°，
∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB，即∠OAC=∠DAB，
在△AOC与△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠OAC=∠DAB}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△ABD，
∴BD=OC=6，∠ABD=∠AOC=45°，
∴BD⊥OB，
∴D（8，6）；
C点在OB延长线上，此时，t=12，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（12-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，∴S_△ACD=40，
∴D（8，12）；

（3）如图2，由（1）知∠CAD=90°，
由（2）知∠CBD=90°，
∴当∠ADB=90°时，四边形ACBD是矩形，
∴AC⊥OB，
∴OC=CB=4，
∴t=4s，D（8，4），
同理C与B重合，此时，t=8，D（8，8）．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．