Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA=OB=OC=6,过点A的直线AD交BC于点D,交y轴与点G,△ABD的面积为△ABC面积的.

(1)求点D的坐标；

(2)过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E.

①求证：OF=OG；

②求点F的坐标。

(3)在(2)的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形?若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) （4，2）

（2）①见解析 ②（1.2，0）

（3）存在，P(6,7.2),(7.2,1.2),(3.6,3.6).

【解析】

（1）作DH⊥AB于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ABC=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出BH的值，从而求出D的坐标；

（2）①根据OA=OC，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△COF，就可以得出OF=OG；

②由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标．

（3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M，由△PHC≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OB于H，由△COF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OC于H，由△COF≌△PHC就可以得出结论．

(1)作DH⊥AB于H，

∴∠AHD=∠BHD=90°.

∵OA=OB=OC=6，

∴AB=12，

∴S△ABC==36

∵△ABD的面积为△ABC面积的.

∴，

∴DH=2.

∵OC=OB，

∴∠BCO=∠OBC.

∵∠BOC=90°，

∴∠BCO=∠OBC=45°，

∴∠HDB=45°，

∴∠HDB=∠DBH，

∴DH=BH.

∴BH=2.

∴OH=4，

∴D(4,2)；

(2)①∵CE⊥AD，

∴∠CEG=∠AEF=90°，

∵∠AOC=∠COF=90°，

∴∠COF=∠AEF=90°

∴∠AFC+∠FAG=90°,∠AFC+∠OCF=90°，

∴∠FAG=∠OCF.

在△AOG和△COF中

∴△AOG≌△COF(ASA)，

∴OF=OG；

②∵∠AOG=∠AHD=90°，

∴OG∥DH，

∴△AOG∽△AHD，

∴，

∴

∴OG=1.2.

∴OF=1.2.

∴F(1.2,0)

(3)如图1,当∠CPF=90°，PC=PF时，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M

∴∠PHC=∠PHO=∠PMO=∠PMB=90°.

∵∠BOC=90°，

∴四边形OMPH是矩形，

∴∠HPM=90°

∴∠HPF+∠MPF=90°

∵∠CPF=90°，

∴∠CPH+∠HPF=90°

∵∠CPH=∠FPM.

在△PHC和△PMF中

∴△PHC≌△PMF(AAS)，

∴CH=FM.HP=PM，

∴矩形HPMO是正方形，

∴HO=MO=HP=PM.

∵CO=OB，

∴COOH=OBOM,

∴CH=MB，

∴FM=MB.

∵OF=1.2，

∴FB=4.8，

∴FM=2.4，

∴OM=3.6

∴PM=3.6，

∴P(3.6,3.6)；

图2,当∠CFP=90°，PF=CF时，作PH⊥OB于H，

∴∠OFC+∠PFH=90°,∠PHF=90°

∴∠PFH+∠FPH=90°

∴∠OFC=∠HPF.

∵∠COF=90°，

∴∠COF=∠FHP.

在△COF和△PHF中

∴△COF≌△PHF(AAS)，

∴OF=HP，CO=FH，

∴HP=1.2，FH=6，

∴OH=7.2，

∴P(7.2,1.2)；

图3,当∠FCP=90°，PC=CF时，作PH⊥OC于H，

∴∠CHP=90°,

∴∠HCP+∠HPC=90°.

∵∠FCP=90°，

∴∠HCP+∠OCF=90°，

∴∠OCF=∠HCP.

∵∠FOC=90°，

∴∠FOC=∠CHP.

在△COF和△PHC中

，

∴△COF≌△PHC(AAS)，

∴OF=HC，OC=HP，

∴HC=1.2，HP=6，

∴HO=7.2，

∴P(6,7.2)，

∴P(6,7.2),(7.2,1.2),(3.6,3.6).