【题目】如图所示，在△
中，
、
分别是
、
的中点，
，延长
到点
，使得
，连接
．
（1）求证：四边形BCEF是菱形；
（2）若
，
，求菱形BCEF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）18
【解析】
（1）由D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，易证得EF＝BC，EF∥BC，即可判定四边形BCFE是平行四边形，又由EF＝BE，即可证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠BCF＝120°，易证得△EBC是等边三角形，又由CE＝6，即可求得菱形BCFE的高，继而求得菱形BCFE的面积．
解：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE=EF，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BEF=120°，
∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴BE=BC=CE=6，
过点E作EG⊥BC于点G，
∴EG=BEsin60°=6×
=3，
∴S菱形BCFE=BCEG=6×3=18．
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【题目】如图，已知抛物线y=
x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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【题目】某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
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【题目】将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合，DF=8．
（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；
（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
①探求△CDO的形状，并说明理由；
②在图①中，若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转，当旋转角α= 时，FP长度最大，最大值为 （直接写出答案即可）．
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【题目】函数
的图象的对称轴为直线
.
（1）求
的值；
（2）将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象
．
①直接写出函数图象的表达式；
②设直线
与
轴交于点A，与y轴交于点B,当线段AB与图象只有一个公共点时，直接写出
的取值范围.
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在y轴上，点C在x轴上，BC⊥x轴，tan∠ACO＝
．延长AC到点D，过点D作DE⊥x轴于点G，且DG＝GE，连接CE，反比例函数y＝
（k≠0）的图象经过点B，和CE交于点F，且CF：FE＝2：1．若△ABE面积为6，则点D的坐标为_____．
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【题目】某校组织学生到恩格贝
和康镇
进行研学活动，澄澄老师在网上查得，和分别位于学校
的正北和正东方向，位于南偏东37°方向，校车从出发，沿正北方向前往地，行驶到15千米的
处时，导航显示，在处北偏东45°方向有一服务区
，且位于，两地中点处．
（1）求，两地之间的距离；
（2）校车从地匀速行驶1小时40分钟到达地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？
（参考数据：
，
，
）
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【题目】如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求
的值；
（3）在（2）的条件下，若
=k（k为大于
的常数），直接用含k的代数式表示
的值．
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【题目】如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．
（1）若△ACD的面积为16．
①求抛物线解析式；
②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求
的最大值；
（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．
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