Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=30cm，BC=40cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度沿AC向终点C匀速移动．过点P作PQ⊥AB，垂足为点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在AB边上，连接CN．设点P移动的时间为t（s）．

（1）PQ=______；（用含t的代数式表示）

（2）当点N分别满足下列条件时，求出相应的t的值；①点C，N，M在同一条直线上；②点N落在BC边上；

（3）当△PCN为等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）4t；（2）①，②；（3）秒或秒或秒．

【解析】

（1）先求出AB=50，sinA==，cosA==，进而求出AQ=3t，PQ=4t，即可得出结论；

（2）先判断出PN=QM=PQ=4t，

①求出CD=24，AD=18，进而判断出AQ+QM=AD=18，建立方程即可得出结论；

②判断出∠APQ=∠PNC，进而得出△AQP∽△PCN，建立方程即可得出结论；

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论．

解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=50，

∴sinA==，cosA==

∵PQ⊥AB，

∴∠AQP=90°，

由运动知，AP=5t，

在Rt△AQP中，AQ=APcosA=×5=3t，PQ=APsinA=4t，

故答案为：4t；

（2）由（1）知，AQ=3t，PQ=4t，

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN=QM=PQ=4t，

①如图1，

由（1）知，AB=50，

过点C作CD⊥AB于D，

∴ABCD=ACBC，

∴CD=24，

在Rt△ADQ中，AD==18，

∵点C，N，M在同一条直线上，

∴点M落在点D，

∴AQ+QM=AD=18，

由（1）知，QM=PQ=4t，AQ=3t，

∴4t+3t=18，

∴t=；

②点N落在BC上时，∠PCN=∠PCB=90°=∠AQP，

∴∠CPN+∠CNP=90°，

∵∠QPN=90°

∴∠CPN+∠APQ=90°，

∴∠APQ=∠PNC，

∵∠AQP=∠PCN，

∴△AQP∽△PCN，

∴，

∴，

∴t=；

（3）当PC=PN时，30-5t=4t，

∴t=，

当PC=NC时，如图2，过点C作CF⊥PN于F，延长CF交AB于D，

∴PF=PN=2t，

∴QD=2t，

根据勾股定理得，AQ==3t，

∴AD=AQ+QD=5t=18，

∴t=，

当PN=NC时，如图3，过点N作NG⊥AC于G，

∴PG=PC=，

易知，△PNG∽△APQ，

∴，

∴，

∴t=，

即：当△PCN是等腰三角形时，秒或秒或秒．