Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边的中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】整体分析：

连接OF，OC，先证四边形OAEC是平行四边形，用SAS证明△ODC≌△OFC，得到∠OFC＝∠ODC＝90°即可.

证明：连接OF，OC.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°.

∵E为BC边的中点，AO＝DO，

∴AO＝EC，AO∥EC，

∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC＝∠OAF，∠FOC＝∠OFA.

∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∴∠DOC＝∠FOC.

∵在△ODC和△OFC中，

OD=OF，∠DOC＝∠FOC，OC=OC，

∴△ODC≌△OFC(SAS)，

∴∠OFC＝∠ODC＝90°，

∴OF⊥CF，

∴CF与⊙O相切．