【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,CD=4,求BD的长.
【答案】(1)证明见解析(2)2
【解析】
试题分析:(1)连接OC,由AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,由等腰三角形的性质结合∠BCD=∠A,即可得出∠OCD=90°,即CD是⊙O的切线;
(2)在Rt△OCD中,由勾股定理可求出OD的值,进而可得出BD的长.
试题解析:(1)如图,连接OC.
∵AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.
∵OA=OC,∠BCD=∠A,
∴∠ACO=∠A=∠BCD,
∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,
∴CD是⊙O的切线.
(2)在Rt△OCD中,∠OCD=90°,OC=3,CD=4,
∴OD==5,
∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形,E是AB的中点,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:△AEF≌△BEC;
(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形,并说出理由;
(3)如图2,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,HK为折痕,若BC=1,求AH的长.
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【题目】某人用如下方法测一钢管的内径:将一小段钢管竖直放在平台上.向内放入两个半径为5 cm的钢球,测得上面一个钢球的最高点到底面的距离DC=16 cm(钢管的轴截面如图所示),则钢管的内径AD的长为_______cm.
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【题目】如图,已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点,点D为第三象限一动点,CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC,
(1)求证:∠ADB与∠ACB互补;
(2)求证:CD平分∠ADB;
(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数.
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【题目】如图,已知在长方形ABCD中,将△ABE沿着AE折叠至△AEF的位置,点F在对角线AC上,若BE=3,EC=5,则线段CD的长是__________.
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【题目】如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,∠ACB=45°,以BC为弦作⊙O,交AC于点D,OD与BC交于点E,若AB与⊙O相切,则下列结论:
①∠BOD=90°;②DO∥AB;③CD=AD;④△BDE∽△BCD;⑤
正确的有( )
A. ①② B. ①④⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,cosA=,D是AB边的中点,E是AC边上一点,联结DE,过点D作DF⊥DE交BC边于点F,联结EF.
(1)如图1,当DE⊥AC时,求EF的长;
(2)如图2,当点E在AC边上移动时,∠DFE的正切值是否会发生变化,如果变化请说出变化情况;如果保持不变,请求出∠DFE的正切值;
(3)如图3,联结CD交EF于点Q,当△CQF是等腰三角形时,请直接写出BF的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B、两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)判断△ABC形状,并说明理由.
(2)在抛物线第四象限上有一点,它关于x轴的对称点记为点P,点M是直线BC上的一动点,当△PBC的面积最大时,求PM+MC的最小值;
(3)如图2,点K为抛物线的顶点,点D在抛物线对称轴上且纵坐标为,对称轴右侧的抛物线上有一动点E,过点E作EH∥CK,交对称轴于点H,延长HE至点F,使得EF=,在平面内找一点Q,使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形,且过点Q的对角线所在的直线 是对称轴,请问是否存在这样的点Q,若存在请直接写出点E的横坐标,若不存在,请说明理由.
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