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【题目】如图,已知A(-1,0),B(1,0),Cy轴正半轴上一点,点D为第三象限一动点,CDABF,且∠ADB=2BAC

(1)求证:∠ADB与∠ACB互补;

(2)求证:CD平分∠ADB

(3)若在D点运动的过程中,始终有DC=DA+DB,在此过程中,∠BAC的度数是否变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出∠BAC的度数.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)BAC=60°.

【解析】

(1)先判断△ABC是等腰三角形,然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论;

(2)过点CAMDA于点M,作CNBD于点N,运用“AAS”证明△CAM≌△CBNCM=CN,根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证;

(3)延长DB至点P,使BP=AD,连接CP,则可得CD=DP,证明△CAD≌△CBP,从而可得 CDP是等边三角形,从而求∠BAC的度数.

(1)A(-1,0),B(1,0)

OA=OB=1

COAB

CA=CB

∴∠ABC=BAC

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°∠ADB=2∠BAC

ADB+∠ACB=180°

∠ADB∠ACB互补;

(2)过点CAMDA于点M,作CNBD于点N,则∠AMC=ANB=90°,

∵∠ADB+AMC+∠ANB+∠MCN=360°

∴∠ADB+∠MCN=180°

ADB+∠ACB=180°

MCN=∠ACB

∴∠MCN-∠CAN=ACB-CAN

∠ACM=∠BCN

又∵AB=AC

∴△ACM≌△ABN (AAS)

AM=AN

CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)

(3)BAC的度数不变化,

延长DB至点P,使BP=AD,连接CP

CD=AD+BD

CD=DP

∵∠ADB+DBC+∠ACB+∠CAD=360°,∠ADB+∠ACB=180°

∠CAD+CBD=180°

∠CBD+∠CBP=180°

∠CAD=∠CBP

∵CA=CB

∴△CAD≌△CBP

CD=CP

CD=DP=CP,即△CDP是等边三角形,

∴∠CDP=60°,

∴∠ADB=2CDP=120°

∵∠ADB=2∠BAC

∴∠BAC=60°.

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