Question

【题目】在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B)，作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N.

(1)写出点C的坐标；

(2)求证：MD=MN；

(3)连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）见解析；（3）MN平分∠FMB成立，证明见解析

【解析】

（1）根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C（2，2）；

（2）可通过构建全等三角形来求解．在OD上取OH=OM，通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN．

（3）本题也是通过构建全等三角形来求解的．在BO延长线上取OA=CF，通过三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF这两对全等三角形来得出FM和OM，CF的关系，从而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否与∠NME相等．

（1）∵四边形是正方形，，

∴

∴点的坐标为

(2)在OD上取OH=OM，连接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180°45°=135°，

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°，

∴∠NBM=180°45°=135°，

∴∠DHM=∠NBM，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°，

∵∠HDM+∠DMO=90°，

∴∠HDM=∠NMB，

在△DHM和△MBN中，

，

∴△DHM≌△MBN(ASA)，

∴DM=MN.

(3)MN平分∠FMB成立。证明如下：

在BO延长线上取OA=CF,可证△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF，

FM=MA=OM+CF(不为定值)，∠DFM=∠DAM=∠DFC，

过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，

由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，

∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°，

进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB.