Question

如图①，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x²在第一象限上的一个点，连结OA，过点A作AB⊥OA，交y轴于点B，设点A的横坐标为n．

【探究】：
（1）当n=1时，点B的纵坐标是

 

； 
（2）当n=2时，点B的纵坐标是

 

；
（3）点B的纵坐标是

 

（用含n的代数式表示）．
【应用】：
如图②，将△OAB绕着斜边OB的中点顺时针旋转180°，得到△BCO．
（1）求点C的坐标（用含n的代数式表示）；
（2）当点A在抛物线上运动时，点C也随之运动．当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积是

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：探究；依据直角三角形的射影定理即可求得B点的坐标．
应用：（1）依据全等三角形的性质即可求得C点的坐标，（2）通过（1）可求得C₁、C₂的坐标，从而得出矩形面积和三角形的面积，最后求得当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积．

解答：
解：探究（3）如图1所示：设点A的横坐标为n，点A是抛物线y=x²在第一象限上的一个点；
∴A（n，n²）；
∴AD=n，OD=n²；
在Rt△AOB中，AD²=OD•BD；
设B点的纵坐标为y₁，则n²=n²•（y₁-n²），
解得：y₁=n²+1，
∴点B的纵坐标是 n²+1．

应用：（1）点B的纵坐标是 n²+1，A点的纵坐标是n²，
∴BD=1，
根据旋转的定义可知CE=AD=n，OE=BD=1；
∴C点的坐标为：（-n，1）；

（2）当n=1时C点的坐标为C₁（-1，1），当n=5时C点的坐标为C₂（-5，1），如上图所示；
S △OC1C2=

1

2

S 矩形OGC2H-S △OGC1=

1

2

×1×5-

1

2

×1×1=2．
∴当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积是2．

点评：本题考查了直角三角形的射影定理的应用，全等三角形的性质，直角坐标系中面积求法是本题的关键．