Question

如图，菱形ABCD，点E在CD上，DE=，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，AF的垂直平分线交AE于点G，若tan∠GBF=，则△ACF的面积为________．

Answer 1

分析：首先过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AD于M，得出tan∠ADE=tan∠ABC=，进而求出EM=，DM=，再利用AD=AM+DM求出a的值，进而得出FC，AH即可求出△ACF的面积．
解答：过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AD于M，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，AF的垂直平分线交AE于点G，
∴可得G在BD上，
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
∴∠CAH=∠GBF，
设CH=a，则AH=3a，
∵AB²=BH²+AH²，
∴AB²=（AB-a）²+（3a）²，
解得AB=5a，
∴AB=BC=5a，BH=4a，
∴tan∠ADE=tan∠ABC=，
∵DE=，
∴EM=，DM=，
∵将△ADE沿AE折叠，点D的对应点F落在BC的延长线上，
∴∠DAE=∠GAF，
∴AM=3EM=，
∴AD=AM+DM=5，
∴a=1，
又∵AF=AD=AB，AH⊥BF，
∴CF=3a=3，AH=3a=3，
∴S_△AFC=×FC×AH=．
故答案为：．
点评：本题考查了菱形的性质，以及勾股定理，折叠的性质，正确求得CH的长度是关键．