Question

已知抛物线Y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明：不论m取什么实数，抛物线必与x有两个交点
（2）m为何值时，x轴截抛物线的弦长L为12？
（3）m取什么实数，弦长最小，最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）因为△=（m²+4）²-4×1×（-2m²-12），配方后得到△=（m²+8）²，而m²+8＞0，得到△＞0，即可得到结论；
（2）令y=0，则x²-（m²+4）x-2m²-12，解方程得到x₁=m²+6，x₂=-2，于是L=x₁-x₂=m²+6-（-2）=m²+8，令L=12得到m²+8=12，解方程即可得到m的值；
（3）由L=m²+8，根据二次函数的最值问题即可得到m=0时，L有最小值，最大值为8．

解答：解：（1）证明：△=b²-4ac=（m²+4）²-4×1×（-2m²-12）
=（m²+8）²，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，
∴△＞0，
∴不论m取什么实数，抛物线必与x有两个交点；
（2）令y=0，x²-（m²+4）x-2m²-12，
∴x=

m2+4± (m2+8) 2

2

，
∴x₁=m²+6，x₂=-2，
∴L=x₁-x₂=m²+6-（-2）=m²+8，
∴m²+8=12，解得m=±2，
∴m为2或-2时，x轴截抛物线的弦长L为12；
（3）L=m²+8，
∴m=0时，L有最小值，最小值为8．

点评：本题考查了二次函数的综合题：二次函数的顶点式y=a（x+h）²+k，当a＞0，x=-h，函数有最小值k；当△＞0时，二次函数与x轴有两个交点．也考查了一元二次方程的解法．