Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D为AB上一点，且AC=AD．连接CD，过点D作DE∥BC．DE与AC相交于E．F为CD的中点，连接AF，EF．
（1）求证：∠AFE=∠B：
（2）求证：AF•BD=BC•EF．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：∠DEC=90°，F为DC的中点，所以EF=FC，从而可知∠FCE=∠FEC，又因为∠ADC=∠FCE，所以∠AEF+∠ADC=∠AEF+∠CEF=180°，从而可知A、D、F、E四点共圆，由圆周角定理可知：∠AFE=∠ADE，所以∠ADE=∠B，即∠AFE=∠B．
（2）由（1）可知：A、D、F、E四点共圆，所以∠CDE=∠FAE，从而可证明∠FAE=∠DCB，最后证明△AEF∽△BCD，从而可知：AF•BD=BC•EF．

解答 解：（1）∵DE∥BC，∠ACB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵F为DC的中点，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠FCE，
∴∠ADC=∠FEC，
∴∠AEF+∠ADC=∠AEF+∠CEF=180°，
∴A、D、F、E四点共圆，
∴由圆周角定理可知：∠AFE=∠ADE，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∴∠AFE=∠B，

（2）由（1）可知：A、D、F、E四点共圆，
∴∠CDE=∠FAE，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB，
∴∠FAE=∠DCB，
∵∠B=∠AFE，
∴△AEF∽△BCD，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{BC}{BD}$，
即：AF•BD=BC•EF

点评 本题考查三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质等知识，综合考查学生的解题能力，本题属于难题．