Question

4．在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为CD上一点，∠BED=60°．
（1）延长BE交AC于F，求证：AD=CF；
（2）若$\frac{AD}{BD}$=$\frac{2}{3}$，连接AE，BE，求$\frac{AE}{BE}$的值；
（3）若E为CD的中点，直接写出$\frac{AD}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ACD≌△CBF，即可解决问题．
（2）如图2中，延长BE交AC于F，作DM⊥AC于M．只要证明△AEB∽△FDB，推出$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{DB}$，设AD=2a，BD=3a，则CF=AD=2a，BD=AF=3a，在Rt△AMD中，AM=$\frac{1}{2}$AD=a，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$a，FN=2a，可得DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，延长即可解决问题．
（3）如图3中，延长BE交AC于F，作DM∥BF交AC于M，设AD=a，DB=b．由（1）可知，CF=AD=a，AF=BD=b，由EF∥DM，DE=CE，推出CF=FM=a，AM=b-a，由DM∥BF，推出$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AD}{BD}$，推出$\frac{b-a}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a²+ab-b²=0，即（$\frac{a}{b}$）²+$\frac{a}{b}$-1=0，解方程求出$\frac{a}{b}$即可解决问题

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴CA=BC，∠A=∠BCF=60°，
∵∠DEB=60°=∠CBE+∠BCE，∠BCE+∠ACD=60°，
∴∠CBF=∠ACD，
在△ACD和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCF}\\{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF，
∴AD=CF．

（2）解：如图2中，延长BE交AC于F，作DM⊥AC于M．

∵∠DEB=∠BAF=60°，∠DBE=∠ABF，
∴△DEB∽△FAB，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BD}{FB}$，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{AB}{BF}$，
∴△AEB∽△FDB，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{DB}$，
设AD=2a，BD=3a，则CF=AD=2a，BD=AF=3a，
在Rt△AMD中，AM=$\frac{1}{2}$AD=a，DM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$a，FN=2a，
∴DF=$\sqrt{F{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．

（3）解：如图3中，延长BE交AC于F，作DM∥BF交AC于M，设AD=a，DB=b．

由（1）可知，CF=AD=a，AF=BD=b，
∵EF∥DM，DE=CE，
∴CF=FM=a，AM=b-a，
∵DM∥BF，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{b-a}{a}$=$\frac{a}{b}$，
∴a²+ab-b²=0，
∴（$\frac{a}{b}$）²+$\frac{a}{b}$-1=0，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍弃），
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．