Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都是等边三角形，F是BE的中点，DF交AC于M，试说明线段AM与MC相等的理由．

Answer 1

分析 连接AF、FC，由等边三角形的性质可得AF是∠BAE的平分线，然后求出∠BAF=∠BAC=30°，再利用“角角边”证明△ABF和△ABC全等，由全等三角形对应边相等可得AF=AC，然后求出△AFC是等边三角形，再由等边三角形的性质求出AF=FC=CD=AD=AC，然后求出四边形AFCD是菱形，由菱形的对角线互相平分可得AM=MC．

解答 证明：连AF，FC，如图所示：
∵△ABE是等边三角形，F是BE的中点，
∴AF是∠BAE的平分线，
∴∠BAF=∠BAE=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAF=∠BAC=30°，
在△ABF和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BAC}&{\;}\\{∠AFB=∠ACB=90°}&{\;}\\{AB=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ABC（AAS），
∴AF=AC，
∵∠FAC=∠BAF+∠BAC=30°+30°=60°，
∴△AFC是等边三角形，
又∵△ACD是等边三角形，
∴AF=FC=CD=AD=AC，
∴四边形AFCD是菱形，
∴AM=MC．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；作辅助线构造出全等三角形和菱形是解题的关键，也是本题的难点．