Question

1．如图，顺次次连接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形的各边中点，分别得到△PQR，四边形PQRH，五边形PQRHS，六边形PQRHST，小明发现，它们都是正多边形，请你选择其一，给出证明．

Answer 1

分析 利用全等三角形的性质，根据正多边形的定义一一证明即可．

解答 解：①如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC，
∵PA=PB，AR=RC，BQ=CQ，
∴PR=$\frac{1}{2}$BC，PQ=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PR=PQ=RQ，
∴△PQR是等边三角形．

②如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵PA=PB，QB=QC，RD=RC，AH=HD，
∴AP=PB=BQ=CQ=CR=DR=DH=AH，
∴△APH≌△BQP≌△CRQ≌△DRH，
∴PH=PQ=RQ=HR，
∴四边形PQRH是菱形，
∵∠AHP=∠DHR=45°，
∴∠PHR=90°，
∴四边形PQRH是正方形．

③如图3中，

同理可证△APD≌△BQP≌△CRQ≌△DHR≌△ESH≌△APS，
∴PS=PQ=RQ=HR=SH，
∵∠ASP=∠APS=∠ESH=∠EHS=∠BPQ=∠BQP，
∴∠HSP=∠SPQ，同理可证∠PSH=∠SHR=∠HRQ=∠RQP，
∴五边形PSHRQ是正五边形．

④如图4中，同理可证△FTS≌△APT≌△BQP≌△CRQ≌△DHR≌△ESH，∠STP=∠TPQ=∠PQR=∠QRH=∠RHS=∠HST，

∴TP=PQ=QR=RH=HS=ST，
∴六边形PQRHST是正六边形．

点评 本题考查正多边形和圆、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．