Question

如图，已知二次函数的图象是经过A（1，0），B（3，0），E（0，6）三点的一条抛
物线．
（1）求该二次函数的解析式．
（2）设该抛物线的顶点为C，对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在这样的点P，使以点A、0、P为顶点的三角形与△ACD相似但不全等？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设Q为直线CD上一动点，S点的坐标为（-1，0），ST为以Q为圆心，QA为半径的⊙Q的切线，T为切点，试问：当点Q在直线CD上移动时，切线ST的长是否发生变化？试证明你的结论．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用交点式将A（1，0），B（3，0），E（0，6）代入求出二次函数解析式即可；
（2）根据（1）中所求得出二次函数的顶点坐标，进而得出△OAP与△ACD相似且不全等时，则

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，求出P点坐标即可；
（3）首先得出点Q为直线x=2上的动点，设点Q的坐标为（2，q），则QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，得出ST的值即可．

解答：（1）解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
又抛物线过点E（0，6）
∴6=a×（-1）×（-3）
解得：a=2，
故所求二次函数的解析式为：y=2（x-1）（x-3）=2x²-8x+6；

（2）解：由y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
可知顶点C的坐标为（2，-2），
点D的坐标为（2，0），
CD=2，AD=1 则

CD

DA

=2，
设在y轴上存在点P（0，y），
若△OAP与△ACD相似且不全等，
则

OP

OA

=

CD

DA

=2或

OP

OA

=

DA

CD

=

1

2

，
当OP=2OA时，△OAP≌△DAC，不合题意，
当OP=

1

2

OA时，即OP=

1

2

时，△OAP与△DCA相似，
OP=|y|，
∴|y|=

1

2

，
解得：y=±

1

2

，
∴符合条件的点有两个：P₁（0，

1

2

），P₂（0，-

1

2

）；
              
（3）当点Q在直线CD上移动时，切线ST的长不发生变化；
理由：连接QS，QT．
∵抛物线的对称轴CD为直线x=2，
点Q为直线x=2上的动点，设点Q的坐标为（2，q）
∴QA=

(2-1)2+q2

=

1+q2

，
QS=

(2+1)2+q2

=

9+q2

，
T为直线ST与⊙Q的切点，∴QT=QA=

1+q2

，
Rt△STQ中，ST²=SQ²-TQ²=（9+q²）-（1+q²）=8，
∴ST=

8

=2

2

（常数）
∴点Q在直线CD上移动时，切线ST的长为常数2

2

．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，注意分类讨论得出不要漏解．