Question

2．已知：在平面直角坐标系中，点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1．
（1）求点B（2a+3b，2a+b）的坐标；
（2）若点C与点A关于x轴对称，请直接写出点C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点M，使△ACM的面积=$\frac{1}{2}$△ABC的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 首先由点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，得出建立方程组求得a、b；
（1）代入求得点B坐标；
（2）根据关于x轴对称点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出点C坐标；
（3）计算三角形的面积判定即可．

解答 解：∵点A（3a+2b，4a+b）在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，A为（1，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=1}\\{4a+b=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
（1）2a+3b=4，2a+b=0，点B为（4，0）；
（2）C（1，2）
（3）不存在．理由：
由题意得：∵△ACM的面积=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴△ACM的面积=$\frac{1}{3}$△ABC的面积，
∴不存在点M．

点评 此题考查点的坐标与图形的性质，掌握点在平面直角坐标系中的性质是解决问题的关键．