Question

16．在等腰Rt△ABC和等腰Rt△A₁B₁C₁中，斜边B₁C₁中点O也是BC的中点．
（1）如图1，则AA₁与CC₁的数量关系是相等；位置关系是垂直．
（2）如图2，将△A₁B₁C₁绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论．
（3）如图3，在（2）的基础上，直线AA₁、CC₁交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 （1）连接AO，A₁O，如图1，根据等腰直角三角形的性质得AO⊥OC，AO=OC，A₁O⊥OC₁，OA₁=OC₁，则可判断A点、A₁点、O点共线，于是得到AA₁⊥C₁C，AA₁=C₁C；
（2）连接OA，A₁O，如图2，利用旋转的性质得∠AOA₁=∠COC₁，则可利用“SAS”证明△OAA₁≌△OCC₁，所以AA₁=C₁C，∠OAA₁=∠OCC₁，延长AA₁交CC₁于H，交BC于M，如图2，然后利用三角形内角和得到∠MHC=∠MOA=90°，于是得到AA₁⊥C₁C；
（3）利用圆周角定理得到点P在以AC为直径的圆上，以AC为直角作⊙Q，连接BQ交⊙Q于P′，如图3，利用点与圆的位置关系可判断此时BP′最小，然后利用勾股定理得到BQ=2$\sqrt{5}$，所以PB长的最小值是2$\sqrt{5}$-2．

解答 解：（1）连接AO，A₁O，如图1，
∵△ABC和△A₁B₁C₁都是等腰直角三角形，斜边B₁C₁中点O也是BC的中点，
∴AO⊥OC，AO=OC，A₁O⊥OC₁，OA₁=OC₁，
∴A点、A₁点、O点共线，
∴AA₁⊥C₁C，OA-OA₁=OC-OC₁，
∴AA₁=C₁C；
（2）上述结论仍然成立．理由如下：
连接OA，A₁O，如图2，
∵△A₁B₁C₁绕点O 顺时针旋转一定角度，
∴∠AOA₁=∠COC₁，
在△OAA₁和△OCC₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AO{A}_{1}=∠CO{C}_{1}}\\{O{A}_{1}=O{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△OAA₁≌△OCC₁，
∴AA₁=C₁C，∠OAA₁=∠OCC₁，
延长AA₁交CC₁于H，交BC于M，如图2，
∵∠AMO=∠CMH，
∴∠MHC=∠MOA=90°，
∴AA₁⊥C₁C．
（3）∵AA₁⊥C₁C，
∴∠APC=90°，
∴点P在以AC为直径的圆上，
以AC为直角作⊙Q，连接BQ交⊙Q于P′，如图3，此时BP′最小，
在Rt△ABQ中，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BP′=BQ-QP′=2$\sqrt{5}$-2，
∴PB长的最小值是2$\sqrt{5}$-2．
故答案为：相等、垂直；2$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质和旋转的性质；学会利用三角形全等的知识解决线段相等或角相等的问题；利用点与圆的位置关系解决（3）小题．