Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点是C，它与x轴的两个不同交点是A和B，若点C到x轴的距离等于A，B两点间距离的k倍，求证：b²-4ac=16k²．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：证明题

分析：先写出抛物线的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）和抛物线与x轴两交点的距离公式|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

，然后分类讨论：当a＞0，A，B两点间距离=

b2-4ac

|a|

=

b2-4ac

a

，点C到x轴的距离-

4ac-b2

4a

，则-

4ac-b2

4a

=k•

b2-4ac

a

；当a＜0，A，B两点间距离=

b2-4ac

|a|

=-

b2-4ac

a

，点C到x轴的距离

4ac-b2

4a

，根据题意得

4ac-b2

4a

=k•（-

b2-4ac

a

），再分别进行等式变形即可得到b²-4ac=16k²．

解答：证明：抛物线的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
当a＞0，A，B两点间距离=

b2-4ac

|a|

=

b2-4ac

a

，点C到x轴的距离-

4ac-b2

4a

，
根据题意得-

4ac-b2

4a

=k•

b2-4ac

a

，即b²-4ac=4k•

b2-4ac

，
所以

b2-4ac

=4k，
所以b²-4ac=16k²；
当a＜0，A，B两点间距离=

b2-4ac

|a|

=-

b2-4ac

a

，点C到x轴的距离

4ac-b2

4a

，
根据题意得

4ac-b2

4a

=k•（-

b2-4ac

a

），即b²-4ac=4k•

b2-4ac

，
所以

b2-4ac

=4k，
所以b²-4ac=16k²；
综上所述，b²-4ac=16k²．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了抛物线与x轴两交点的距离公式|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

（x₁、x₂为抛物线与x轴两交点的横坐标）．