Question

15．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S_△BEF=3S_△DEF．其中，正确的结论是①②④．

Answer 1

分析 由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF．
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF．
∴DF=CF；故①正确．
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC．
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN．
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°．
即BF⊥EN，故②正确．
在△DEF和△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCN=90°}\\{DF=CF}\\{∠DFE=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CNF（ASA）．
∴EF=FN．
∴BE=BN．
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN=60°，∠EBA=30°，
则AE=$\frac{1}{2}$BE，又∵AE=$\frac{1}{2}$AD，则AD=BC=BE，
而明显BE=BN＞BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误．
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM．
∴BE=3EM．
∴S_△BEF=3S_△EMF=3S_△DEF；
故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．