Question

14．在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
求证：AF=$\sqrt{3}$CF．

Answer 1

分析 由切线的性质可知：∠OEC=∠OFC=90°，由∠ACB=90°可知四边形OECF为矩形，然后由OE=EF可知四边形OECF为正方形，然后再证明∠OAF=30°，从而可得到AF=$\sqrt{3}$OF，故此AF=$\sqrt{3}$FC．

解答 解：如图所示：连接OE、OF、OA．

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F
∴OE⊥BC，OF⊥AC．
∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°．
∴四边形OECF是矩形．
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形．
∴OF=FC．
∵AD、AF是圆O的切线，
∴∠OAF=$\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$．
∴$AF=\sqrt{3}OF$．
∴AF=$\sqrt{3}FC$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、正方形的性质、特殊锐角三角函数，证得四边形OECF是正方形是解题的关键．