Question

19．已知：等边△ABC，D，E分别是AB，BC上的点，且BD=CE，过点A向CD作垂线，垂足为F，延长CD到点P，连接PB，使∠P=30°，求证：PF=CF．

Answer 1

分析 过C作CM⊥PB交PB的延长线于M，由∠P=30°，得到CM=$\frac{1}{2}$PC，∠PCM=60°，根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，AC=BC，推出△BCM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到CF=CM，等量代换得到CF=$\frac{1}{2}$PC，于是得到结论．

解答 证明：过C作CM⊥PB交PB的延长线于M，
∵∠P=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$PC，∠PCM=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠BCM=∠ACF，
∵AF⊥PC，
∴∠AFC=∠CMB=90°，
在△BCM与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠AFC}\\{∠BCM=∠ACF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACF，
∴CF=CM，
∴CF=$\frac{1}{2}$PC，
∴PF=CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．