Question

4．如图，BC是半圆O的直径，点G是半圆上任意一点，点A为BG的中点，AD⊥BC于E，AC与BG交于点F．
（1）求证：BE=AE=EF；
（2）如果∠GBC=30°，BC=12$\sqrt{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AB，根据圆周角定理和相似三角形的性质证明Rt△ABF∽Rt△ACB，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠AFB，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）根据在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半解答即可．

解答 （1）证明：连接AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC．
又∵AD⊥BC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C．
∵点A为$\widehat{BG}$的中点，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AG}$，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD，
∴AE=BE．
∵∠C=∠ABF，
∴Rt△ABF∽Rt△ACB，
∴AF：BF=AB：BC，即AF•BC=AB•BF，
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°，∠BAD=∠ABE，
∴∠EAF=∠AFB，
∴AE=EF=BE；
（2）解：∵AD⊥BC，∠GBC=30°，
∴∠BED=60°，
∵EA=EB，
∴∠EBA=∠EAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=6$\sqrt{3}$，
∵∠EAB=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
又∵∠GBC=30°，
∴DE=3．

点评 本题考查的是圆周角定理、直角三角形的性质、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相关定理是解题的关键．