Question

如图，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上且S_△AOC：S_△BOC=1：4，且OA、OB的长为关于x的方程x²-10x+m²=0的两个根．
（1）求m的值．
（2）若AC⊥BC，求OC的长及AC所在直线的解析式．
（3）在（2）问的条件下，线段AC上是否存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_?AMEF=

3

8

S_△ABC？若存在直接写出M的坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据面积个求出OA：OB=1：4，设OA=a，则OB=4a，由根与系数的关系求出a，再代入即可求出m；
（2）证△ACO∽△CBO，得出比例式，求出OC即可，根据A、C的坐标设直线AC的解析式是y=kx+4，把A的坐标代入求出即可；
（3）求出直线BC的解析式，设M的坐标是（a，2a+4），根据平行四边形性质得出E的纵坐标与M的纵坐标相等，是2a+4，代入直线BC的解析式求出E的横坐标，求出ME，即可得出平行四边形AMEF的面积，假如存在得出方程，看看方程是否有解即可．

解答：解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：4，
∴（

1

2

×OA×OC）：（

1

2

×OB×OC）=1：4，
∴OA：OB=1：4，
设OA=a，则OB=4a，
∵OA、OB的长为关于x的方程x²-10x+m²=0的两个根，
∴a+4a=10，
a=2，
即OA=2，OB=8，
故由根与系数的关系得：2×8=m²，
解得：m=±4；

（2）∵AC⊥BC，
∴∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△ACO∽△CBO，
∴

AO

OC

=

CO

OB

，
∴CO²=OA×OB=2×8=16，
∴OC=4，
∵OA=2，
∴C（0，4），A（-2，0），
∴设直线AC的解析式是y=kx+4，
把A的坐标代入得：0=-2k+4，
k=2，
∴AC所在直线的解析式是y=2x+4；

（3）线段AC上不存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_?AMEF=

3

8

S_△ABC．
理由是：∵M在直线AC上，直线AC的解析式是y=2x+4，
∴设M的坐标是（a，2a+4），
∵C（0，4）B（8，0），
∴设直线BC的解析式是y=dx+4，
∴把B的坐标代入得：0=8d+4，
d=-

1

2

，
∴直线BC的解析式是y=-

1

2

x+4，
∵ME∥AB，EF∥AC，
∴四边形AMEF是平行四边形，M的纵坐标与E的纵坐标相等，是2a+4，
把y=2a+4代入y=-

1

2

x+4得：x=-4a，
即E的坐标是（-4a，2a+4），
∴ME=AF=（-4a）-a=-5a，
假如存在点M，使S_?AMEF=

3

8

S_△ABC，
则（-5a）•（2a+4）=

3

8

×

1

2

×（2+8）×4，
2a²+4a+3=0，
判别式△=4²-4×2×3＜0，
即此方程无解，
故线段AC上不存在点M，过M作x轴的平行线交y轴于点D，交BC点E，过E作EF∥AC交x轴于F，使S_?AMEF=

3

8

S_△ABC．

点评：本题考查了用待定系数法求出一次和的解析式，根的判别式，根与系数的关系，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，解一元二次方程，平行四边形的性质和判定等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．