Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．
（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．

Answer 1

【答案】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，
∴∠BAC=180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠DAE=2α，
∵AE=AD，
∴∠ADE=90°﹣α；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF．
∴∠EDC=∠ABC=α，
由（1）知，∠ADE=90°﹣α，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD；
②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠C=∠B=α．
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE=BF．
∴∠EAC=∠C=α，
由（1）知，∠DAE=2α，
∴∠DAC=α，
∴∠DAC=∠C．
∴AD=CD．
∵AD=AE=BF，
∴BF=CD．
∴BD=CF．
【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠BAC=180°﹣2α，又由AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°，可求得∠DAE=2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）①由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC=∠ABC=α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得AD⊥BC，又由AB=AC，根据三线合一的性质，即可证得结论；
②由在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠B=∠C=α，四边形ABFE是平行四边形，可得AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠EAC=∠C=α，又由（1）可证得AD=CD，又由AD=AE=BF，证得结论．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．