Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=4

2

，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x，
（1）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形？
（2）当x为何值时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形？
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

Answer 1

考点：直角梯形,平行四边形的判定,菱形的判定

专题：动点型

分析：（1）过D作DM⊥BC于M，求出DM、MC，根据勾股定理求出DE，推出AP⊥BC，求出即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据平行四边形的性质推出即可；
（3）化成图形，根据菱形的性质和判定求出BP即可．

解答：解：（1）过D作DM⊥BC于M，

∵CD=4

2

，∠C=45°，
∴DM=CM=DC×sin45°=4

2

×

2

2

=4，
∵E是BC的中点，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴EM=6-4=2，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE=

42+22

=2

5

，
∵要使以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
∴只能是∠APB=90°，
即AP⊥BC，AP⊥AD，如图2，

∵AP=DM，AP∥DM，
∴四边形APMD是矩形，
∴AD=PM=5，
∴PE=5-2=3，
∴BP=12-6-3=3，
即当x为3时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）分为两种情况：①如图3，当P在E的左边时，

∵AD=PE=5，CE=6，
∴BP=12-6-5=1；
②如图4，当P在E的右边时，
∵AD=EP=5，
∴BP=12-（6-5）=11；
即当x为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，
理由是：分为两种情况：①当P在E的左边时，如图3，
∵AD=5，DE=2

5

，
∴AD≠DE，
即此时以点P、A、D、E为顶点的四边形APED不是菱形；

②如图4，过点D作DM⊥BC于点M，当P在E的右边时，过A作AQ⊥BC于Q，
则AQ=DM=4，
∵AD=AE=EP=5，
∴BP=BP=6+5=11；
即当x为11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角梯形的判定，勾股定理等知识点的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是比较容易出错．