Question

求证：过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点．

Answer 1

分析：此题首先过圆内接四边形两边的中点向对边引垂线，产生交点，然后再进一步证明过另外两边的中点和交点的直线垂直于对边即可．根据三角形的中位线定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质即可证明．

解答：
证明：圆内接四边形ABCD，O为圆心，LR、EF为符合题意的线段，相交于K，连接LO、FO．
设M、G分别为AD、BC的中点，连接LM、MF、FG、GL，连接MK、KG、GO、OM．
∵L、F分别为AB、DC的中点，
∴LO⊥AB、OF⊥DC，
同时EF⊥AB，LR⊥DC，
∴LO∥EF，OF∥LR，
∴LOFK为平行四边形，
∴LO=KF．
连接AC、BD．根据中位线定理和平行四边形的判定，易证明四边形LGFM为平行四边形．
则LG=MF，
又LG∥MF，LO∥KF，
∴∠GLO=∠MFK，
∴△LGO≌△MFK，
∴OG=MK，
同理KG=OM．
故OGKM为平行四边形．
∴MO∥KG，MK∥OG．
综上，LR、EF、MQ、GP同为符合题意的线段．
所以过圆内接四边形各边的中点向对边所作的4条垂线交于一点．

点评：此题综合考查了垂径定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质．