Question

13．问题情境：先化简，再求值：（x-1-$\frac{3}{x+1}$）÷$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$，其中x=7．
解法展示：原式=（$\frac{x-1}{1}$-$\frac{3}{x+1}$）÷$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$=（$\frac{{x}^{2}-1}{x+1}$-$\frac{3}{x+1}$）÷$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$（根据1）=$\frac{{x}^{2}-1-3}{x+1}$÷$\frac{{x}^{2}+4x+4}{x+1}$=$\frac{（x+2）（x-2）}{x+1}$•$\frac{x+1}{（x+2）^{2}}$（根据2）=$\frac{x-2}{x+2}$．
当x=7时，原式=$\frac{7-2}{7+2}$=$\frac{5}{9}$．
反思交流：
（1）上述解法中的根据1是指分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，根据2是指分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
（2）上述解法的运算顺序是先计算括号中的减法运算，再计算除法运算．
（3）利用上述解法解答下列问题：先化简，再求值：$\frac{{x}^{2}+2x+1}{2x-6}$÷（x-$\frac{1-3x}{x-3}$），其中x=5．

Answer 1

分析 （1）上述解法中的根据1是指分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变；根据2是指分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变；
（2）写出上述解法的运算顺序即可；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）上述解法中的根据1是指分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变；根据2是指分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变；
（2）上述解法的运算顺序是先计算括号中的减法运算，再计算除法运算；
（3）原式=$\frac{（x+1）^{2}}{2（x-3）}$÷$\frac{{x}^{2}-3x-1+3x}{x-3}$=$\frac{（x+1）^{2}}{2（x-3）}$•$\frac{x-3}{（x+1）（x-1）}$=$\frac{x+1}{2x-2}$，
当x=5时，原式=$\frac{3}{4}$．
故答案为：（1）分式的分子分母同时乘以同一个不为0的整式，分式的值不变；分式的分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变；
（2）先计算括号中的减法运算，再计算除法运算；

点评 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．