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【题目】如图,在等边ABC中,线段AMBC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边CDE,连结BE

(1)求∠CAM的度数;

(2)若点D在线段AM上时,求证:ADCBEC

(3)当动D直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断AOB是否为定值?并说明理由.

【答案】130°;(2)答案见解析;(3AOB是定值,∠AOB=60°.

【解析】

(1)根据等边三角形的性质可以直接得出结论

(2)根据等边三角形的性质就可以得出ACBCDCEC,∠ACB=∠DCE=60°,由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC

(3)分情况讨论当点D在线段AM上时如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE就可以求出结论当点D在线段AM的延长线上时如图2,可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出结论当点D在线段MA的延长线上时如图3,通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论

1)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.

∵线段AMBC边上的中线,∴∠CAMBAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.

(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴ACBCCDCE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE

在△ADC和△BEC中,∵,∴△ACD≌△BCE(SAS);

(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°.理由如下

当点D在线段AM上时如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE则∠CBE=∠CAD=30°,又∠ABC=60°,∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°.

∵△ABC是等边三角形线段AMBC边上的中线,∴AM平分∠BAC,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

当点D在线段AM的延长线上时如图2.

∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴ACBCCDCE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE,∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中,∵∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠CBE=∠CAD=30°.

由(1):∠BAM=30°,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

当点D在线段MA的延长线上时

∵△ABC与△DEC都是等边三角形,∴ACBCCDCE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°,∴∠ACD=∠BCE

在△ACD和△BCE中,∵∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠CBE=∠CAD

由(1)得:∠CAM=30°,∴∠CBE=∠CAD=150°,∴∠CBO=30°,∠BAM=30°,∴∠BOA=90°﹣30°=60°.

综上所述当动点D在直线AM上时,∠AOB是定值,∠AOB=60°.

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理由如下:

∵∠DAE=E,(已知)

,(内错角相等,两条直线平行)

∴∠D=DCE. (两条直线平行,内错角相等)

∵∠B=D,(已知)

∴∠B= ,(等量代换)

.(同位角相等,两条直线平行)

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