Question

3．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（　　）

• A． 5：4
• B． 5：2
• C． $\sqrt{5}$：2
• D． $\sqrt{5}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分别求出扇形和圆的半径，再根据扇形和圆的面积公式求出面积，最后求出比值即可．

解答 解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=2，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴扇形的面积是$\frac{45π×（2\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{2}$π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=2，
∴MC=MB=$\sqrt{2}$，
∴⊙M的面积是π×（$\sqrt{2}$）²=2π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是$\frac{5}{2}$π÷（2π）=$\frac{5}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了正方形性质、圆内接四边形性质、扇形的面积公式的应用；解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．