Question

【题目】已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．

（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；

（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．

Answer 1

【答案】(1) FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；（2）FG=BG，FG⊥BG；证明见详解；

【解析】

（1）由∠AFE=∠ABE=90°，点G是AE中点，则，，则得到FG=BG，∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，由∠FAG+∠BAG=45°，即可得到∠BGF=90°；

（2）过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，根据题意，找出相应的条件证明△GFE≌△GBD（SAS），得到FG=BG，与（1）证法一样，证明∠CGD=90°，通过等量代换即可得到∠FGB=90°.

解：（1）FG=BG，FG⊥BG；如图1，

∵∠ABC＝∠CFE＝90°，

∴△ABE和△AFE是直角三角形，

∵点G是AE的中点，

∴，，

∴.，∠GAF=∠GFA，∠GAB=∠GBA，

∴∠FGE=2∠FAG，∠BGE=2∠BAG，

∵∠BAC=∠FAG+∠BAG=45°

∴∠BGF=∠FGE+∠BGE=2（∠FAG+∠BAG）=90°，

即FG⊥BG；

（2），；

过点E作ED⊥AB，交AB延长线于点D，连接DG，CG，

∵△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，ED⊥AB，

∴∠FBD=∠BFE=∠EDB=90°，

∴四边形BFED是矩形，

∴BD=EF，

在直角三角形ADE和直角三角形ACE中，G是AE中点，

∴DG=GE=AG=CG=，

∴∠GED=∠GDE，

∴∠FEG=∠BDG，

∴△GFE≌△GBD（SAS），

∴GF=GB，CF=BD，

∵DG=AG=CG，

∴△CGF≌△DGB，∠CAG=∠ACG，∠DAG=∠ADG，

∴∠CGF=∠DGB，

∵∠CAG+∠DAG=45°，

∠CGE+∠DGE=2（∠CAG+∠DAG）=90°，

即∠CGD=90°，

∴∠CGD-∠CGF+∠DGB=∠FGB=90°，

即FG⊥BG.