Question

【题目】如图1，直线y=2x﹣2与曲线y= （x＞0）相交于点A（2，n），与x轴、y轴分别交于点B，C．

（1）求曲线的解析式；
（2）试求ABAC的值？
（3）如图2，点E是y轴正半轴上一动点，过点E作直线AC的平行线，分别交x轴于点F，交曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DEDF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直线y=2x﹣2经过点A（2，n），

∴n=2×2﹣2=2，即A的坐标是（2，2），

把（2，2）代入y= 得m=4，

则反比例函数的解析式是y= （x＞0）

（2）

解：过A作AM⊥x轴于点M．

在y=2x﹣2中，令x=0解得y=﹣2，则C的坐标是（0，﹣2），令y=0，则2x﹣2=0，解得x=1，则B的坐标是（1，0）；

则AB= = = ，

BC= = = ，

则ABAC= ×2 =10

（3）

解：存在常数k，过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，则∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，

设D的坐标是（a， ），则EG=a，DN= ，

∵DF∥AC，EG∥FN，

∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，

∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，

∴ ，有DF： = ，则DF=2 a，

又 = ，有 = ，则ED= a，

于是，DEDF= a =10．

即存在常数k=10

【解析】（1）首先把A代入直线解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数解析式；（2）首先求得A和B的坐标，过A作AM⊥x轴于点M，然后利用勾股定理求得AB和BC的长，则AB和AC的长即可求得，则两线段的乘积即可求得；（3）过点D作DN⊥x轴于点N．过点E作EG⊥DN于点G，易证△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的图象和性质和反比例函数的图象的相关知识点，需要掌握一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远；反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点才能正确解答此题．